「重なっていない平行な2直線はどこまでいっても交わらない」
小学生以来、疑う必要のない公理として考えられていると思います。
今、地球を思い浮かべて下さい。赤道に垂直な直線を1本引いてみて下さい。北極と南極を通りますね。
では、別の地点からもう1本赤道に垂直な直線を1本引いてみましょう。やはり北極と南極を通ります。
赤道に対して、この2つの直線はともに垂直ですので、平行なはずですね。なのに、伸ばしていくと交わってしまいます。
このように、
「重なっていない平行な2直線はどこまでいっても交わらない」
という公理が成り立たない条件の下で考えられた幾何学があり、非ユークリッド幾何学と呼ばれます。
双曲幾何学と楕円幾何学という2つがその主なものです。
三角形の内角の和は 2 直角よりも大きいなど様々な不思議な事実が成り立ちます。